Kosminski wurde in Schwenningen geboren und studierte Schauspiel und Regie in New York. Als Regisseur arbeitete er unter anderem an der Berliner Schaubühne, am Schauspiel Frankfurt und am Staatsschauspiel Dresden. Von 2001 bis 2006 war er leitender Regisseur und Mitglied der künstlerischen Leitung am Düsseldorfer Schauspielhaus. Im Anschluss wechselte er als Schauspieldirektor ans Nationaltheater Mannheim und war ab 2013 Intendant des Schauspiels.
Auch Ballettchef Tamas Detrich und der Intendant der Staatsoper, Viktor Schoner, werden weitere Jahre an Bord bleiben. Gemeinsam mit Schauspiel-Leiter Burkhard C. Kosminski stehen Detrich und Schoner seit 2018 an den Spitzen ihrer Sparten.
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